LOGARITMO
1- Definición de Logaritmo
Se define logaritmo como el exponente de una potencia con cierta base, es decir, el número al cual se debe elevar una base dada para obtener un resultado determinado.
Por ejemplo:
5 0 = 1
51 = 5
52 = 25
53 = 125, etc.
Luego, siendo la base 5, el logaritmo de 1 (que se escribe log5 1) es 0, por que 0 es el exponente al que hay que elevar la base 5 para que dé 1; el log5 5 es 1; el log5 25 es 2, el log5 125 es 3, etc.
- No existe el logaritmo de los números negativos.
- El argumento y la base de un logaritmo son números reales positivos. Además, la base no puede ser 1. Es decir, en la expresión logb a, siempre, por definición, a ∈ R+ y b ∈ R+ – {1}.
- La expresión logb a , se lee como: “logaritmo de a en base b”.
Volvamos a la definición de logaritmo: “exponente al que es necesario elevar una cantidad positiva para que resulte un número determinado”.Si lo escribiera como ecuación, corresponde a resolver logb a = x, donde b es la base del logaritmo y aes su argumento, con a y b positivos.
Propiedades
2.1- Logaritmo de la unidad
El logaritmo de 1 en cualquier base es igual a 0. logb (1) = 0 ; con b ≠ 1.
Ej: log5 (1) = 0 porque 50 =1
log7 (1) = 0 porque 70 = 1
log20 1 = 0 ⇔ 200 = 1
2.2- Logaritmos de la base
El logaritmo de la base es igual a 1. logb (b) = 1 ; con b ≠ 1.
Ej:
log5 (5) = 1 ⇔ 51 = 5
log6 (6) = 1 ⇔ 61 = 6
log12 (12) = 1 ⇔ 121 = 12
2.3- Logaritmo de una potencia con igual base:
El logaritmo de una potencia de un número es igual al producto entre el exponente de la potencia y el logaritmo del número. logb bn = n, con b ≠ 1
Ej: log6 6 3 = 3
2.4- Logaritmo de un producto
El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.
logb (a • c) = logb a + logb c
Ej: logb (5 • 2) = logb 5 + logb 2
2.5- Logaritmos de un cociente
El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo, menos el logaritmo del divisor.
EJEMPLO
2.6- Logaritmo de una potencia
El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base.
loga cn = n loga c
Ej: log3 10 2 = 2 log3 10
2.7- Logaritmo de una raíz
El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo de la cantidad subradical dividido entre el índice de la raíz.
RADICACION
La radiación es la operación inversa de la potenciación. Supongamos que nos dan un número a y nos piden calcular otro, tal que, multiplicado por si mismo un número b de veces nos da el numero a.
Por ejemplo: calcular qué número multiplicado por si mismo 2 veces da 196. Ese número es 14.
El número que esta dentro de la raíz se llama radicando, el grado de la raíz se llama índice del radical, el resultado se llama raíz.
Podemos considerar la radiación como un caso particular de la potenciación. En efecto, la raíz cuadrada de un numero (por ejemplo a) es igual que a1/2, del mismo modo la raíz cúbica de a es a1/3 y en general, la raíz enésima de un numero a es a1/n.
La mejor forma de resolver los ejercicios de operaciones con raíces es convertir las raíces a potencias y operar teniendo en cuenta las propiedades dadas para la operación de potenciación.
TERMINOS
Los términos de la radiación son: el radicando, el indice radical y la raíz.
El radicando es cualquier número dado del que deseamos hallar la raíz.
El indice radical indica las veces que hay que multiplicar por si mismo un número para obtener el radicando.
La raíz es el número que multiplicado por si mismo las veces que indica el indice radical da el radicando.
Dado un radicando A, un indice radical B y una raiz C, donde se cumple que CB = A se indicaría de la siguiente forma .
El grafismo para indicar una raiz se llama signo radical
Representación en forma potencial de una radiación
Sabemos que una potencia fraccionaria N/D de un número R es igual a la siguiente igualdad:
Según la propiedad de potencia de un exponente fraccionario.
Un número elevado al exponente 1 es el mismo número ya que A1=A
Una potencia A1 / D es igual la raiz D del número A elevado a 1, es decir .
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